En tant que langage généraliste, Python n'inclut pas par défaut certains concepts mathématiques. Un exemple déjà vu concerne les vecteurs et les matrices numériques qui sont implémentée dans le module Numpy. Le but ici est d'introduire le module Sympy qui permet de faire du calcul symbolique.

Par exemple, le nombre \( \sqrt{8} \) est représenté par Python comme un flottant:

import math
math.sqrt(8)

L'avantage de Sympy est que \( \sqrt{8} \) est gardé en tant que racine et même automatiquement simplifié:

import sympy as sp
sp.init_printing()
sp.sqrt(8)

À noter que la deuxième instruction n'est pas nécessaire, mais permet de présenter les résultats de manière plus élégante dans Jupyter Lab. Même si cela est déconseillé, il est possible d'importer toutes les fonctions de Sympy afin de ne pas avoir à mettre sp. devant chaque fonction:

from sympy import *
init_printing()
sqrt(8)

mais il faut alors faire attention aux éventuels conflits entre fonctions. En particulier si Numpy ou le module math sont utilisés également alors il ne faut pas utiliser import *. La documentation de Sympy est disponible ici.

Exercice 4.1: Introduction à Sympy

Avant de pouvoir utiliser des variables symboliques, il faut les déclarer comme symboles:

x = sp.Symbol("x") # définit le symbole x
y = sp.Symbol("y", real=True) # définit la variable réelle y
e = sp.Symbol(r"\varepsilon", real=True, positive=True) # définit epsilon positif

Ensuite il est possible de faire des opérations entre symboles:

x + 2*y + e/4 + x**2 + 3*x + 2*y

La plupart des fonctions mathématiques sont implémentées symboliquement dans Sympy et il est également possible de les simplifier:

expr = sp.cos(x)**2 + sp.sin(x)**2 + (y**3 + y**2 - y - 1)/(y**2 + 2*y + 1) + sp.exp(-e)
sp.simplify(expr)

Finalement il est possible de faire des substitutions:

expr.subs(x,y) # remplace x par y
expr.subs({y:x, e:y}) # remplace y par x et e par y

puis par exemple de simplifier l'expression et de tracer son graphe en fonction de x:

f = sp.simplify(expr.subs({y:x, e:y}))
sp.plot(f,(x,-2,6), title=f"Graphique de ${sp.latex(f)}$")

a) Lire la documentation de la fonction solve et l'utiliser pour calculer les racines d'un polynôme général de degré deux, puis de degré trois.

Indication

b) Lire la documentation des fonctions evalf et N pour évaluer l'expression \( \frac{\pi^2}{4} \).

Indication

c) Lire la documentation de la fonction Rational et évaluer numériquement le nombre rationel \( \frac{43609}{999} \) avec 50 décimales.

d) Déterminer la partie réelle et imaginaire de l'expression: $$ \bigg(\frac{1+i\sqrt{3}}{1+i}\bigg)^{20} \,. $$

Indication

e) Lire la documentation de la fonction diff et calculer la dérivée de \( x e^{x^{x^x}} \) par rapport à \( x \).

Indication

f) Lire la documentation de la fonction integrate et calculer les intégrales suivantes: $$ \begin{align*} I_{1} & =\int x^{5}\sin(x)\,\mathrm{d} x \,, & I_{2} & =\int_{0}^{\infty}\sin(x^{2})\,\mathrm{d} x \,. \end{align*} $$

g) Calculer avec Sympy les limites suivantes: $$ \begin{align*} L_{1} & =\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}\,, & L_{2} & =\lim_{x\to0}\sin\bigg(\frac{1}{x}\bigg)\,, & L_{3} & =\lim_{x\to\infty}\frac{5x^{2}+3x+2y}{y(x-4)(x-y)}\,. \end{align*} $$

h) Calculer le développement limité de \( \tan(x) \) en \( x=0 \) à l'ordre 10 et le développement asymptotique de \( \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \) pour \( n\to\infty \) à l'ordre 5.

i) Déterminer les valeurs propres de la matrice: $$ \begin{pmatrix}1 & a & 0\\ a & 2 & a\\ 0 & a & 3 \end{pmatrix} $$

Indication

Exercice 4.2: Applications

Le but est d'utiliser Sympy pour résoudre symboliquement différents problèmes mathématiques en calculant le moins de choses possibles à la main.

a) Déterminer le nombre de zéros que contient l'entier \( 123! \).

b) Déterminer le rapport entre la hauteur et le rayon d'un cylindre de manière à minimiser son aire à volume fixé.

c) Pour \( x,y\in\mathbb{R} \) tels que \( xy < 1 \), démontrer que: $$ \arctan(x) + \arctan(y) = \arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right) \,. $$

Indication

d) Démontrer la formule suivante due à Gauss: $$ \frac{\pi}{4} = 12\arctan\left(\frac{1}{38}\right)+20\arctan\left(\frac{1}{57}\right)+7\arctan\left(\frac{1}{239}\right)+24\arctan\left(\frac{1}{268}\right) \,. $$ Il est impératif d'utiliser Sympy, la démonstration originale de Gauss faisant 25 pages, voir les pages 477 à 502 du deuxième volume de ses œuvres complètes disponible ici.

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e) Déterminer le volume de la région: $$ \big\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: x^2+y^2 < z < 2x^2+4xy+6y^2, |y| < 5, |x| < 4\big\} \,. $$

f) Déterminer l'expression des coefficients de Fourier réels de la fonction \( 2\pi \)-périodique \( f \) définie par \( f(x)=|\sin(x)| \).

Exercice 4.3: Fonction pathologique

Le but est de construire une fonction qui visuellement semble régulière, mais qui en fait ne l'est pas. Soit la fonction \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) définie par: $$ f(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin(k^2 x)}{k^5} \,. $$ Vu que la série converge absolument, la fonction \( f \) est bien définie.

a) À l'aide de Sympy calculer la fonction \( g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) définie en gardant les cent premiers termes de la série: $$ g(x) = \sum_{k=1}^{100} \frac{\sin(k^2 x)}{k^5} \,, $$ et représenter la fonction \( g \) graphiquement.

b) Estimer à la main l'erreur entre les fonctions \( f \) et \( g \) en valeur absolue.

c) Calculer la dérivée première et la dérivée seconde de \( g \) et représenter graphiquement ces deux dérivées. Que pouvez-vous conclure ?

d) Expliquer mathématiquement ce qui se passe.

Exercice 4.4: ! Fonction de Green du laplacien

Le but de cet exercice est de calculer entièrement automatiquement la fonction de Green du laplacien dans \( \mathbb{R}^3 \), i.e. la solution satisfaisant: $$ \Delta G(\boldsymbol{x}) = \delta(\boldsymbol{x}) \,, $$ dans \( \mathbb{R}^3 \) où \( \delta(\boldsymbol{x}) \) est la distribution de Dirac.

Pour cela, nous introduisons les coordonnées sphériques \( \boldsymbol{x}^\prime = (r,\theta,\varphi) \) avec \( r>0 \), \( 0 \leq \theta \leq \pi \), et \( 0 \leq \varphi < 2\pi \) caractérisées par: $$ \begin{align*} x_1 & =r\cos\varphi\sin\theta\\ x_2 & =r\sin\varphi\sin\theta\\ x_3 & =r\cos\theta \,. \end{align*} $$

a) Définir une fonction to_spherical(expr) permettant de convertir en coordonnées sphériques une expression donnée en coordonnées cartésiennes.

b) Définir une fonction to_cartesian(expr) permettant de convertir en coordonnées cartésiennes une expression donnée en coordonnées sphériques. Par simplicité, on pourra traiter uniquement le cas d'une expression expr invoquant les variables \( r \) et \( \theta \) mais pas \( \varphi \).

c) Calculer les facteurs d'échelle des coordonnées sphériques: $$ h_i = \left\Vert \frac{\partial\boldsymbol{x}}{\partial x^\prime_i} \right\Vert. $$

d) Définir une fonction gradient(f) permettant de calculer le gradient d'une fonction \( f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} \) en coordonnées sphériques: $$ \boldsymbol{\nabla}f = \left( \frac{1}{h_i}\frac{\partial f}{\partial x^\prime_i} \right)_{i=1}^3\,. $$

e) Faire de même pour définir le laplacien en coordonnées sphériques: $$ \Delta f = \sum_{i=1}^3 \frac{1}{J} \frac{\partial}{\partial x^\prime_i} \left( \frac{J}{h_i^2} \frac{\partial f}{\partial x^\prime_i} \right) \quad \text{où} \quad J = \prod_{i=1}^3 h_i \,. $$

f) Trouver les solutions radiales (i.e. ne dépendant que de la variable \( r \)) de l'équation \( \Delta G = 0 \) dans \( \mathbb{R}^3\setminus\{\boldsymbol{0}\} \).

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g) Déterminer les équations que doivent satisfaire les constantes d'intégration pour que la solution précédente satisfasse en coordonnées cartésiennes: $$ \lim_{|\boldsymbol{x}|\to\infty} G(\boldsymbol{x}) = 0 \quad \text{et} \quad \Delta G(\boldsymbol{x}) = \delta(\boldsymbol{x}) \,. $$

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h) Résoudre les équations sur les constantes d'intégrations et substituer dans la solution radial de \( \Delta G = 0 \) pour obtenir l'expression de la fonction de Green du laplacien en coordonnées sphériques. Finalement déterminer la fonction de Green \( G \) du laplacien dans \( \mathbb{R}^3 \) en coordonnées cartésiennes.

i) !! Soit \( g:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} \) une fonction lisse à support compact invariante par rotations selon l'axe vertical. Déterminer le comportement asymptotique à grandes distances de la solution de l'équation: $$ \Delta f(\boldsymbol{x}) = g(\boldsymbol{x}) \, $$ jusqu'à l'ordre deux, i.e. les termes décroissant comme \( |\boldsymbol{x}|^{-1} \) et comme \( |\boldsymbol{x}|^{-2} \).

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